¿Para que Sirven?
No hay mejor manera de explicarlo que con un gran ejemplo:
1º IMAGINA: tienes que trasladar un carro por estas escaleras hacia arriba (figura 1)
Dispones de unos tablones que irás poniendo de peldaño a peldaño (Figura 2) para poder desplazar tu carro
Fíjate en ellos, observa la figura 2 ¿Qué constatas con relación a su inclinación? Tendrás que hacer mucho esfuerzo al inicio para desplazar tu carro y menos al final en el último tramo.
La pendiente, aunque subas todo el tiempo, es más elevada al inicio que al final.
Si establecemos el ángulo entre el tablero y la horizontal (Figura 3), vemos que el ángulo se va reduciendo a medida que vamos avanzando a lo largo de los tablones. Se dice que el coeficiente director de la pendiente va reduciéndose. Por ejemplo, en el punto 6, o 7, o 8, y 9 (el tablero azul) tenemos una pendiente con un coeficiente director de ¼ ya que tiene que recorrer 4 unidades de medida (la profundidad de la escalera) para subir 1 unidad en el punto 10 (altura de la escalera) . La pendiente es la división de lo que ha subido (1 punto) sobre lo que ha avanzado (4 unidades), es decir la pendiente es de 1/4= 0,25 (es lo que se llama el coeficiente director de la recta). La pendiente del tablero amarillo, es de 0,2, ya que hay que recorrer 5 para subir 1. Si, por ejemplo en este mismo punto, en lugar de una unidad se subiese 10 unidades ¿Cuál ser
ía la pendiente en este caso?
La pendiente en ese caso sería de 10/5= 2.
La derivada nos muestra la evolución de la inclinación de los tablones a lo largo del trayecto.
Así que la derivada tiene que ver con los cambios de los coeficientes directores o los ángulos de los tablones con relación a la horizontal. En el ejemplo los coeficientes son positivos hasta el punto 21, a partir del punto 21 el coeficiente director es 0 ya que el tablón está paralelo al suelo, si a partir de ahí se fuese avanzando y las escaleras fuesen bajando, en lugar de subir, el coeficiente director sería negativo. Si fuese bajando de modo simétrico al que ha ido subiendo encontraríamos los mismos indices angulares pero negativos.
La derivada muestra la evolución de la pendiente, en cada punto de los tablones, a lo largo de la curva. ¿Lo haz entendido?
Así que si remplazamos todos esos tablones por una solo tablero flexible que se posiciona sobre la escalera, podríamos decir que es una subida continua ya que la rueda de mi carro no siente ningún tipo de discontinuidad a lo largo del trayecto (no hay rupturas entre tablones) y escribiríamos una función continua f(x) que nos indicaría por cada punto que avanzamos en que punto de la altura nos encontramos. Mientras que la derivada sería una función f'(x) derivada de la anterior función que ya no nos da la altura sino que nos dice de cuánto cambia aquella función primitiva y la pendiente que tiene en cada punto del tablero flexible.
Los matemáticos dicen que la derivada es la función f'(x) que da la tangente en cada punto de la curva f(x). De todo esto lo importante es que lleguemos a imaginar y a visualizar con algún ejemplo como la derivada mide las evoluciones y los cambios de una variable (en el ejemplo, la altura de la escalera del dibujo) con relación a otra (la profundidad de la escalera del dibujo).
Ahora vamos a imaginar otras funciones en las que hay una derivada. ¿Se te ocurre alguna? Por ejemplo el incremento de peso que he ido cogiendo en función de los años. ¿Qué me dará la derivada? Eso ya lo podéis responder: la evolución de ese incremento de peso que no es otra cosa la evolución del ángulo de los tablones sobre la horizontal.
Pero entonces ¿Para qué sirve entonces la derivada? La derivada permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la evolución o el cambio de muchos fenómenos físicos. Permite calcular los puntos clave ahí donde la pendiente es 0 (máximos y mínimos) para buscar los óptimos por ejemplo. Permite hacer otros muchos cálculos asociados a este hecho de la pendiente de la tangente en cada punto de la curva. En física, electricidad, electrónica, en química, permite estudiar muchos fenómenos evolutivos asociados como la velocidad, la aceleración, los flujos, las acumulaciones. Las derivadas están siempre presentes. Se utiliza en economía, se utiliza en gestión, se utiliza en arquitectura. Los sistemas de cálculo de frenado y de automatización utilizan derivadas, los sistemas y las máquinas automatizadas para fabricar o para controlar utilizan derivadas. Por ejemplo, los sistemas que controlan la parada de vuestro ascensor para que ésta sea suave, se controla el “jerk” que es la derivada de la aceleración con relación al tiempo.
Fermat fue el primero en establecer, el uso de la derivada, aplicándola al estudio de puntos máximos y mínimos de una curva, pero fue Newton en 1669 quien la integró en un sistema matemático que es una genialidad y que se llama el Cálculo integral y diferencial y que se puede decir es la base matemática de la ciencia clásica. La relación entre la derivada y su primitiva (aquella curva de la que se puede derivar) funda el estudio de las diferenciales que sirven por ejemplo para cálculos de fenómenos de acumulación, reducción y dispersión. El estudio de la cantidad de carbono 14 en un hueso permite, por ejemplo, a través de una diferencial, llegar a calcular su edad
